¡Hola! Vamos a analizar esta situación paso a paso para responder a tus preguntas de forma razonada y breve, teniendo en cuenta la normativa española sobre procedimientos administrativos.

1. ¿Se presentó en tiempo la solicitud?

Cálculo del plazo: La Orden se publicó el 28 de mayo de 2009 en el Boletín Oficial de Canarias (B.O.C.). El plazo de 15 días se computa a partir del día siguiente a la publicación, es decir, desde el 29 de mayo de 2009.
Fecha límite: Contando 15 días naturales desde el 29 de mayo, la fecha límite para la presentación de solicitudes era el 12 de junio de 2009 (29, 30, 31 de mayo; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 de junio).
Presentación por fax: La presentación por fax el 15 de junio de 2009 se realizó fuera del plazo establecido.
Presentación original: La presentación original el 16 de junio de 2009 también se realizó fuera del plazo establecido.
Respuesta: No, la solicitud no se presentó en tiempo. Ambas presentaciones (por fax y la original) se realizaron después de la finalización del plazo de 15 días desde el día siguiente a la publicación de la Orden.

2. ¿Es válida la presentación de la solicitud?

Presentación por fax: La validez de la presentación por fax dependerá de lo que establezca la convocatoria. Si la Orden permitía la presentación por fax como medio válido y establecía algún requisito adicional (como la posterior presentación del original dentro de un plazo determinado), habría que revisar ese detalle. Sin embargo, incluso si fuera un medio válido inicialmente, se realizó fuera de plazo.
Presentación en registro no competente: La presentación mediante fax dirigida al registro del Ayuntamiento de Candelaria, si bien puede ser un registro válido para la presentación de documentos dirigidos a otras administraciones (según la Ley 39/2015, del Procedimiento Administrativo Común de las Administraciones Públicas), la fecha de recepción en el registro del órgano competente (la Consejería de Educación, Cultura y Deportes) es la relevante para el cómputo del plazo. La presentación original, aunque se hiciera posteriormente, también fue fuera de plazo.
Respuesta: En principio, la presentación realizada fuera de plazo no es válida para optar a la beca-ayuda convocada en esa Orden. La presentación por fax, aunque sea un medio válido en general, se realizó fuera de plazo. La presentación posterior del original tampoco subsana la presentación fuera de plazo.

3. ¿A partir de qué fecha se computa el plazo máximo de resolución por el órgano competente?

El plazo máximo de resolución por el órgano competente se computa a partir de la fecha en que la solicitud haya tenido entrada en el registro del órgano competente para resolver el procedimiento. En este caso, sería a partir de la fecha en que la Consejería de Educación, Cultura y Deportes hubiera recibido la solicitud (original, si la presentación por fax no se considera válida a efectos de inicio del procedimiento, o la fecha de recepción del fax si este medio fuera admitido y la fecha se considerara válida).

Respuesta: El plazo máximo de resolución se computaría a partir de la fecha de recepción de la solicitud por el órgano competente (la Consejería de Educación, Cultura y Deportes). Si la presentación fuera considerada fuera de plazo, el procedimiento podría no llegar a iniciarse formalmente a efectos de resolución.

4. En su caso, ¿se puede recurrir?

Si la solicitud es desestimada por haberse presentado fuera de plazo, sí se podría recurrir esta decisión. El interesado tiene derecho a recurrir los actos administrativos que le causen un perjuicio.

Respuesta: Sí, en caso de desestimación por presentación fuera de plazo, se podría recurrir.

5. ¿Ante quién?, ¿En qué plazo?

El tipo de recurso y el plazo para interponerlo dependerán de la naturaleza del acto de desestimación (si es un acto de trámite o una resolución definitiva) y de la normativa específica de la Comunidad Autónoma de Canarias. Generalmente, se podría interponer:

Recurso de Alzada: Se interpone ante el órgano superior jerárquico del que dictó el acto (en este caso, probablemente ante el Consejero de Educación, Cultura y Deportes). El plazo general para interponer un recurso de alzada es de un mes si el acto es expreso (como una notificación de desestimación) y de tres meses si el acto es presunto (si no se recibe respuesta en el plazo establecido).
Recurso Contencioso-Administrativo: Una vez agotada la vía administrativa (o directamente si se trata de un acto que no admite recurso de alzada), se podría interponer un recurso contencioso-administrativo ante los órganos de la jurisdicción contencioso-administrativa. El plazo general para este recurso es de dos meses desde la notificación de la resolución del recurso de alzada (si se interpuso) o desde la notificación del acto administrativo que se recurre directamente.
Respuesta: Se podría interponer un Recurso de Alzada ante el Consejero de Educación, Cultura y Deportes en el plazo de un mes desde la notificación de la desestimación. Agotada la vía administrativa, cabría interponer un Recurso Contencioso-Administrativo ante la jurisdicción contencioso-administrativa en el plazo de dos meses desde la notificación de la resolución del recurso de alzada (si se interpuso) o del acto originario.